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2008-04-01 00:12
 Xを入力変数、yを出力変数として、
 抵抗が一定のもとでの電流と電圧の関係のように、y=mX
 のような比例関係で増加するものって自然界には、殆ど見当たりません。
 比例関係でなくとも、比例定数 k がついて   y=mx+k
 の形の線形関係のものもあまりないでしょう。
 自然界に存在するものに直線はあまりありません。直線が人工的な感じがするように、線形関係って非常に人工的な関係の感じが致します。
   
 それに対して、指数関数
 y=a^x  の形って自然現象の基本の一つでしょう。
この形に増えるものの特徴は、増加率がそのときの存在量に比例するということです。この方がごく自然に理性的に受け入れられる増加の仕方でしょう。

 よくある例がバクテリアの増え方です。
 例えば、バクテリア1個体1時間あたり1回分裂して2つになるとします。
 はじめに1個体(バクテリアの数は、「匹」でも「個」でも変だから、「個体」にします・・笑)だったバクテリアは、1時間後に2個体、2時間後に4個体、3時間後に8個体・・・・10時間後に1024個体[=2^10・・・2の10乗]となります。20時間後には、1024の2乗で1048576個体[2^20=(2^10)^2]、1日=24時間後は、それに2を4回掛けて、16777216個 体です。
 つまり、バクテリアは24ステップで1600万倍以上に増殖するのです。
 
 生物は、食料と増える空間が十分にあり、生存環境が良好なら、このように増えるのが自然の摂理です。理に適っています。
 これに対して線形の増加というものは理に適っていないので非常に考えにくいでしょう。つまり、現在の個体数が1であっても10000であっても、1時間後の増加量が同じ数・・例えば1個体・・という事は、かなりの強制力がなければ起こり得ないでしょう。1ステップで2つに分裂する筈の10000個体のバクテリアのうちたった一つしか分裂しない訳ですから・・。

 つまり、指数関数的増加というのは、それぞれ1個体当たりの増加率が一定という極めて理性的な増加の仕方です。
 放射性元素の崩壊は、増加ではなく減少の例ですが、きれいに指数関数的に減少していきます。生物と違って、崩壊前の元素に、古い、新しい(若い、年とった)の区別がなくて、極めて確率的なだけであるところが面白いところです。

 もう少し高等な生物なら、雄と雌がいて、分裂ではなく、親の個体も生き残り、ある程度経つと死ぬというちょっと複雑な形になりますが、それでも基本形は指数関数でしょう。
 
 指数関数的な増え方をするものの特徴は、既に存在する量(個体数)に比例して増えていくものです。言い方を変えれば1個あたりの増加率が(確率的に) 一定と考え得るものです。だからそれ自体が自己増殖するもの・・生物はすべてこの例に当てはまるでしょう。・・・勿論食料とか空間とか十分にあって、生存環境も良好な場合です。

           ++++++   ++++++   ++++++   
 
 さて、生物以外に人間社会で指数関数的増加傾向のあるものが何かと考えてみます。

 先ず、自己増殖性を持っているものから考えます。銀行での預金(複利の元利合計)は勿論指数関数です。資本の自己増殖性からくる考え方でしょう。
 例えば工業資本、工場で大量生産をすれば新たな工場を作る資本が貯まります。それだけではなく、自己増殖性を持った工業製品も沢山あります。製鉄所が作る鉄鋼が新たな製鉄所も作るし、他の工業製品の部品も作ります。工場で作った製品で儲けた資本の使い道にもよりますが、その何パーセントを事業拡大に回すかを固定すれば、指数関数的増加になるでしょう。
 
 次に自己増殖性を持っていないものを考えます。自己増殖性を持っていないものでも、自己増殖性を持っているものに比例して増えるものは、指数関数的に増えるでしょう。
 例えば、食料の消費量は、指数関数的に増える人口に比例していますから、人口と共に指数関数的に増えます。
 金属資源や石油や石炭などの地下資源の消費量は、人口にも比例しますし、一人当たりの消費量も増えているので、(人口)×(一人当たりの消費量の平均)に比例するわけです。これも指数関数的増加傾向を持っている事になります。
 ゴミ、廃棄物の量も同様に、人口と一人当たりの消費量に比例しますから、指数関数的増加傾向を持っていることになります。 


 さて、ここで問題があります。地下資源の生産量は、指数関数的に増えてきましたが、地下資源は、生産と呼ぶのは間違いで、ただ、地下に眠っているはじめから存在する資源を掘り出しているだけです。言わば倉庫の在庫品を消費しているだけです。だから「消費」と表現させて戴きました。同様に、廃棄物の捨て場も、人口の広がりもみんな有限な地球で行われていることですから、指数関数的増加は、続けられる筈がありません。資本の自己増殖性などというものも、資源があってのお話です。資源に限りがあるのですから、資本の自己増殖性も、無限に続く筈もなく、頭打ちになるものでしょう。
 指数関数的増加は、バクテリアの増え方で見たように、時間の関数として、すぐに規模が桁違いに途方もなく大きくなり続けるのですぐに限界に達します。それが「指数関数的成長」と言う名の脅威です。経済成長は、前年比何パーセントで定義している通り、指数関数的成長を期待されています。工業資本だろうが、なんの資本だろうが、有限の土地、資源の有限の地球上で、指数関数的な無限の成長が出来る筈はありません。無限の指数関数的経済成長を期待している多くの人々は愚か者に違いありません。

 いや、指数関数的増加は一時的なもので、ちゃんと途中で成長はやめて安定する・・という学者も沢山います。・・・そりゃそうでしょう、有限の地球で指数関数的増加を続ける事は不可能です。間違いなくすぐに限界に達します。・・・安定に達した・・・と言うよりは、限界に達して、これ以上増加は物理的に無理・・と言うべき場合のほうが多いのではないでしょうか?例えば、現在の経済と人口の規模・・・20世紀あたりは地域によって、超指数関数的に増加した時期がありました。そして、現在はどう考えても行き過ぎです。・・恐いのは、行き過ぎてもなおいまだに成長している事です。『安定』するためには、大きなダウンを経なければならないのです。


 よくある話としてフランスにあるなぞなぞをちょっと改作してみます。
 あるところに池がありました。ある日、この池に悪性の睡蓮が数本生えていることに気づきました。翌2日目は睡蓮の数が2倍に増えていました。そのままにしておくとスイレンは毎日2倍に数が増える事がわかりました。(池を覆う面積も2倍になるものとします。)この睡蓮が池を覆い尽くすと池に住む他の生物を窒息させてしまいます。長い間睡蓮は、ほんの少しにしか見えなかったので、そのままにしておきました。50日経っても 池の0.1パーセントくらいしか覆っていませんでした。55日経って3パーセントほどになりました。それから4日後の59日目に池の半分を覆ってしまったので、慌てて睡蓮を抜く計画を立てはじめました。でもその翌日の60日目に睡蓮は池を覆い尽くし、池の生物は窒息して死滅してしまいました。
 もしも、池の面積が2倍でも、あと1日長く持つだけです。・・そう、2倍ごとに一日なのです。この池の面積の1000倍の面積の湖でも、さらにたったの10日で、睡蓮は水面を覆ってしまうのです。
 これが、指数関数的増加の恐ろしいところです。 増加率が目立ち始めたと思ったら、いきなり桁違いに増えて行きます。量が多いと気付いた時には、手に負えないほどの増加率になっている事がしばしばです。少し前には途方もなく遥か先に存在していた筈の限界をあっという間に超えてしまうのです。
 

    ××××  ××××  ××××  ××××  ××××

余談です。
 この記事の参考文献は一応

成長の限界  人類の選択[Limits To Growth /the 30-year Update]
 (30年アップ・デート版)
   Donella H Medows , Dennis L Medows , Jorgen Randers  著 
    枝廣淳子 訳

 です。

このシリーズなどや経済学の本には
私が用いた『指数関数』の変わりに、『幾何級数』という用語がしばしば使われています。
 私はこれには2つの理由で、違和感があります。
 
 先ず、『幾何級数』なんて死語ではないでしょうか?死語ではなくても、非常にレトロでレトリックな感じが致します。『等比数列』もしくは百歩譲っても『等比級数』と表現すべきでしょう。・・・『級数』は『数列の和』という意味です。バクテリアの分裂のときは、前の個体が別れて残っていないわけですから、『級数』ではありませんし、子供や卵を産む動物や種や胞子で殖える植物も、親の個体はずっと生き続ける訳ではないので、中途半端な『数列の和』でしょう。第一『級数』と言う言葉も『数列』と同意で使われることもある曖昧な言葉で、死語に近い存在でしょう。
”Geometirical Progression” もしくは ” Geometric Series”  を直訳したと言う事は十分に解りますが、何故敢えてこの分かりにくい死語のような言葉を日本の翻訳者達は使いたがるのでしょうか?


 続いて、何故『指数関数』でなく、『幾何級数(=等比数列)』を使うのでしょうか?
 勿論『数列』は、不連続分布に、『指数関数』は連続分布に用います。
そして、人口やバクテリアの数は、整数を扱っているので、厳密には連続関数ではありません。しかし連続分布に近似出来るくらい十分に大きな数を扱っています。先に挙げたバクテリアの例では、考えやすくするために全個体そろえて、1ステップ(1時間)毎に2倍ずつ増えたので、等比数列的発想ですが、実際は、バクテリアの分裂だろうが、人間が子供や卵を産むときだろうが、「せーの」で一斉に分裂したり、子供を産んだりしているわけではありません。少しずつ殖えるのです。バクテリアの例なら、0.5時間なら√2倍ずつ殖えるのです。・・・だから、数列で扱うのは非常に抵抗があります。放射性元素の崩壊だってミクロに見れば数えられる粒子の崩壊ですが、量として扱います。等比数列でなんか扱いません。指数関数で扱います。 

 以上、本題には全く関係ありませんが、私は『指数関数』を用いるべきだと思います。『指数関数』でなく『幾何級数』を用いるのは、ちょっと抵抗を感じます。
勿論、等比数列が、幾何学的視覚に訴えるだろうことは容易に想像がつきます。

何か特別な理由があるのが分かる方がいれば、教えて下さい。


 『成長の限界』には、この幾何級数的成長の部分で、もう一つ私が納得出来ない部分があります。それは、
「ほとんどの人は、成長とは直線的なプロセスだと思っているので、あっという間に非常に大きな数になる幾何級数的な成長に惑わされてしまう」・・・という一節です。
まあ、確かにそう言う面は否定出来ませんが、それは人間社会が数を定義し使いはじめた時に等差数列的に使いはじめたからであって、人間の感覚は、寧ろ等比数列、指数関数に対応する頭になっていると思います。この事について次回書かせて戴きます。
 つまり、指数関数的増加と言うのは、私ならずとも良く用いる原理で「成長の限界」などでも扱っていますが、次回は、その逆関数である対数関数についての人間の感性や社会に関する私の洞察を書かせて戴きます。
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【2008/04/01 00:12】 | 雑談 トラックバック(0) |


サーシャ・ルビニコフ
『成長の限界』やマルサスの『人口の原理』などでも指数関数的増加関数がよく扱われますね。
人口学者のジョエル・E・コウエン氏は、非常に悲観的な人で、『人類の未来は、レミングの行進(ネズミ科のレミングは個体数が増えすぎると海などに身投げして個体数を調整するといわれています。ただ、科学的な根拠はありません。ただ離散しただけとも言われています)かもしくは、ノアの大洪水によって一掃されるかのどちらかであろうか?
有名な叙事詩に出てくるように、我々は誰一人として生き残ってはいけなかったのだ』といっています。

私も個人的な意見としてはコウエン氏に賛同ですね。アマゾンの熱帯雨林の保護を訴える人や密猟を阻止しようとする人達には厳しい意見かもしれませんが、違法伐採や密猟をしなければ生きていけない人達が現に存在しているのに、ただ取り締まるだけでは金持ち達の戯言です。
人身売買も然りで、モルドヴァやアルバニア、チェチェンでは公然と人身売買が行われていますが、彼らには仕事もなくEUの移民規制によって国外に行くことも難しい現在で、彼らはどうやって生きていけばいいのでしょうか?
イタリアで五共和国(イタリアの北部五州の独立を目指す過激派組織)に所属しているアルバニア人は、人身売買を行ったとして逮捕された事件がありました。
その時に彼が言った言葉は、『お前らがリビングで砂糖入りのミルクを飲んでるときに、祖国では何人もの人が飢えで死んでる。血塗られてない砂糖なんてないんだ』だそうです。

大抵の人は、白か黒の二元論で解決したがりますが、物事はそんなに単純ではないと思います。
話が逸れてしまいましたが、言いたかったことは『人間とは真に合理的な生き物ではないから、たとえ正しいことを言ってもそれを実行するほど賢明ではない』ということです。


性善説ではいられませんね。
雑草Z
    サーシャ・ルビニコフさん

確か2度目のコメントですね。有難う御座います。

細かい事ですみませんが、
>『成長の限界』やマルサスの『人口の原理』
は、本文後半に書いたように
「指数関数的増加」ではなく「幾何級数的増加」を使ってますね。何故「指数関数的増加」を使わないか不思議です。
ついでにもう一つ、マルサスの論理では、食料増産は、等差数列的(線形的)と言っていますが、根拠のない事ではないでしょうか?不合理に感じます。お分かりでしたら教えてください。

 人間の指数関数的増加を理解すれば、コウエン氏のように悲観的に成らざるを得ないでしょう。ただし

>我々は誰一人として生き残ってはいけなかった

とは思いませんが・・。

 後半は、書きたい内容は理解しますが、今回の記事とはあまり関係のないコメントですね?

>『人間とは真に合理的な生き物ではないから、たとえ正しいことを言ってもそれを実行するほど賢明ではない』

は、その通りだと思います・。正しい事をすぐに実行していたら、これほど矛盾に満ちた世の中にはならなかったでしょうね。だから、持続可能な社会を築く事に楽観的ではいられません。 


sio_sh
幾何級数は算術級数の対義語(?)として用いられ対数を幾何級数に取ると算術級数に等しいわけで、ようは線型と指数関数の違いなわけですが、ここらの同値性が理解できるだけの数学力がない人間にとってはたしかに紛らわしいだけかも。まあわざとわかりにくく書くのは数学の常套手段です、昔から。昔はそういう難しい本を理解できる人間だけがついてこれて専門家になればよかったが、学力低下と数学の需要(ITや経済方面など)の増加でわかりやすい本が増えてきたんでしょう。

指数関数的成長だって微分方程式で定義することもできるが、ワンステップおきに計算すると幾何級数になるわけで、ようは表現様式の違いにすぎない。たしかに成長などという具体例あてはめれば無理がでてくるかもしれないが純粋数学として定義するなら微分方程式も級数も変わらない。オイラーの公式も級数と微分方程式の証明があるじゃないか。

たしかに地球は有限ですが、こういう話でなぜ地球に引きこもることが前提として論じられているのかがわからない。タイプ1文明では埋蔵資源を使ってるだけなのでドレイク方程式の科学文明の持続期間というのはタイプ1文明とタイプ2文明の以降において重要となるがここで失敗すると絶滅や大幅後退の可能性もある。

タイプ2文明は惑星間文明だが、これもキャパシティが増えるだけで太陽系内の資源やエネルギーも有限なので、恒星間文明を築ける壁を突破できない場合同様の問題が生じるわけですが。

Re:
雑草Z
>幾何級数は算術級数の対義語(?)として用いられ

余談の部分へのコメントですね。
「幾何級数」同様、Arithmetic Progression も「算術級数」と訳すのは、レトロでレトリックな感じがすると言う事です。「等差数列」と言う単純で感覚的にも勝る日本語があるにもかかわらず、死語のような直訳に私は違和感があると言ったまでで、主題とは関係の無い些細な「余談」の部分です。

>指数関数的成長だって微分方程式で定義することもできるが、ワンステップおきに計算すると幾何級数になるわけで、ようは表現様式の違いにすぎない。

 表現は違えど、そのあたりの事は本文にも書いていますよ。それらを踏まえての感覚的な余談です。    


>こういう話でなぜ地球に引きこもることが前提として論じられているのかがわからない

地球の重力圏から脱出するのには非常に大きなエネルギーが必要です。地球外から資源を運び込むには、EPR的に逆効果で、地球の資源の枯渇及び環境負荷を増やすだけでしょう。人類が他の惑星に移住するなんてのは、更に困難な事でしょう。もしも他の惑星に移住可能だとしても、それは限られた数の人間でしょうし、それも当分実現の見込みはありませんから、当分の間はこの手の議論では地球を閉じた系と考える方が妥当でしょう。



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コメント
この記事へのコメント
『成長の限界』やマルサスの『人口の原理』などでも指数関数的増加関数がよく扱われますね。
人口学者のジョエル・E・コウエン氏は、非常に悲観的な人で、『人類の未来は、レミングの行進(ネズミ科のレミングは個体数が増えすぎると海などに身投げして個体数を調整するといわれています。ただ、科学的な根拠はありません。ただ離散しただけとも言われています)かもしくは、ノアの大洪水によって一掃されるかのどちらかであろうか?
有名な叙事詩に出てくるように、我々は誰一人として生き残ってはいけなかったのだ』といっています。

私も個人的な意見としてはコウエン氏に賛同ですね。アマゾンの熱帯雨林の保護を訴える人や密猟を阻止しようとする人達には厳しい意見かもしれませんが、違法伐採や密猟をしなければ生きていけない人達が現に存在しているのに、ただ取り締まるだけでは金持ち達の戯言です。
人身売買も然りで、モルドヴァやアルバニア、チェチェンでは公然と人身売買が行われていますが、彼らには仕事もなくEUの移民規制によって国外に行くことも難しい現在で、彼らはどうやって生きていけばいいのでしょうか?
イタリアで五共和国(イタリアの北部五州の独立を目指す過激派組織)に所属しているアルバニア人は、人身売買を行ったとして逮捕された事件がありました。
その時に彼が言った言葉は、『お前らがリビングで砂糖入りのミルクを飲んでるときに、祖国では何人もの人が飢えで死んでる。血塗られてない砂糖なんてないんだ』だそうです。

大抵の人は、白か黒の二元論で解決したがりますが、物事はそんなに単純ではないと思います。
話が逸れてしまいましたが、言いたかったことは『人間とは真に合理的な生き物ではないから、たとえ正しいことを言ってもそれを実行するほど賢明ではない』ということです。
2008/04/03(Thu) 12:58 | URL  | サーシャ・ルビニコフ #-[ 編集]
性善説ではいられませんね。
    サーシャ・ルビニコフさん

確か2度目のコメントですね。有難う御座います。

細かい事ですみませんが、
>『成長の限界』やマルサスの『人口の原理』
は、本文後半に書いたように
「指数関数的増加」ではなく「幾何級数的増加」を使ってますね。何故「指数関数的増加」を使わないか不思議です。
ついでにもう一つ、マルサスの論理では、食料増産は、等差数列的(線形的)と言っていますが、根拠のない事ではないでしょうか?不合理に感じます。お分かりでしたら教えてください。

 人間の指数関数的増加を理解すれば、コウエン氏のように悲観的に成らざるを得ないでしょう。ただし

>我々は誰一人として生き残ってはいけなかった

とは思いませんが・・。

 後半は、書きたい内容は理解しますが、今回の記事とはあまり関係のないコメントですね?

>『人間とは真に合理的な生き物ではないから、たとえ正しいことを言ってもそれを実行するほど賢明ではない』

は、その通りだと思います・。正しい事をすぐに実行していたら、これほど矛盾に満ちた世の中にはならなかったでしょうね。だから、持続可能な社会を築く事に楽観的ではいられません。 
2008/04/03(Thu) 21:10 | URL  | 雑草Z #SAV8FvZY[ 編集]
幾何級数は算術級数の対義語(?)として用いられ対数を幾何級数に取ると算術級数に等しいわけで、ようは線型と指数関数の違いなわけですが、ここらの同値性が理解できるだけの数学力がない人間にとってはたしかに紛らわしいだけかも。まあわざとわかりにくく書くのは数学の常套手段です、昔から。昔はそういう難しい本を理解できる人間だけがついてこれて専門家になればよかったが、学力低下と数学の需要(ITや経済方面など)の増加でわかりやすい本が増えてきたんでしょう。

指数関数的成長だって微分方程式で定義することもできるが、ワンステップおきに計算すると幾何級数になるわけで、ようは表現様式の違いにすぎない。たしかに成長などという具体例あてはめれば無理がでてくるかもしれないが純粋数学として定義するなら微分方程式も級数も変わらない。オイラーの公式も級数と微分方程式の証明があるじゃないか。

たしかに地球は有限ですが、こういう話でなぜ地球に引きこもることが前提として論じられているのかがわからない。タイプ1文明では埋蔵資源を使ってるだけなのでドレイク方程式の科学文明の持続期間というのはタイプ1文明とタイプ2文明の以降において重要となるがここで失敗すると絶滅や大幅後退の可能性もある。

タイプ2文明は惑星間文明だが、これもキャパシティが増えるだけで太陽系内の資源やエネルギーも有限なので、恒星間文明を築ける壁を突破できない場合同様の問題が生じるわけですが。
2013/03/17(Sun) 20:16 | URL  | sio_sh #-[ 編集]
Re:
>幾何級数は算術級数の対義語(?)として用いられ

余談の部分へのコメントですね。
「幾何級数」同様、Arithmetic Progression も「算術級数」と訳すのは、レトロでレトリックな感じがすると言う事です。「等差数列」と言う単純で感覚的にも勝る日本語があるにもかかわらず、死語のような直訳に私は違和感があると言ったまでで、主題とは関係の無い些細な「余談」の部分です。

>指数関数的成長だって微分方程式で定義することもできるが、ワンステップおきに計算すると幾何級数になるわけで、ようは表現様式の違いにすぎない。

 表現は違えど、そのあたりの事は本文にも書いていますよ。それらを踏まえての感覚的な余談です。    


>こういう話でなぜ地球に引きこもることが前提として論じられているのかがわからない

地球の重力圏から脱出するのには非常に大きなエネルギーが必要です。地球外から資源を運び込むには、EPR的に逆効果で、地球の資源の枯渇及び環境負荷を増やすだけでしょう。人類が他の惑星に移住するなんてのは、更に困難な事でしょう。もしも他の惑星に移住可能だとしても、それは限られた数の人間でしょうし、それも当分実現の見込みはありませんから、当分の間はこの手の議論では地球を閉じた系と考える方が妥当でしょう。

2013/03/19(Tue) 21:59 | URL  | 雑草Z #SAV8FvZY[ 編集]
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